Nell'immagine qui sopra, possiamo immaginare che sia avvenuto uno scatto che abbia portato un token dal posto superiore al posto inferiore. Il risultato di uno scatto è una '''redistribuzione''' dei token, il che vuol dire, secondo la definizione di stato vista sopra, che una transizione quando scatta fa '''cambiare stato''' alla mia rete di Petri. Questa è la '''semantica''' della mia rete di Petri: una funzione che associa il tempo alla diversa successione di stati, in altre parole un'evoluzione. Se ogni stato è a sua volta una funzione che associa ad ogni posto un certo numero di token, allora la vita della rete di Petri è una successione di funzioni di questo tipo.

Partiamo da una domanda: dato un certo assegnamento di token in una rete di Petri, sarà possibile in futuro avere un'altra situazione data?

Si tratta di una domanda matematica che, per via del fatto che le reti di Petri hanno una semantica, è calcolabile: in questo modo è possibile stabilire l'esatto comportamento di una rete di Petri.

Ma a noi ingegneri del software non interessa solo questo: vogliamo che il nostro programma rispetti fino in fondo il comportamento della rete di Petri che tanto ci siamo sbattuti a costruire.

Se riusciamo a garantire che il nostro software si comporta esattamente come la rete di Petri, allora siamo a posto. Ma come faccio? La soluzione consiste nell'avere un generatore di codice automatico che, data una rete di Petri, produce automaticamente del codice sorgente il cui comportamento rispetta quello della rete. Ricordiamo che l'algoritmizzazione di una tale procedimento è possibile proprio perché le reti di Petri sono dotate sia di sintassi che di semantica.

Una rete di Petri è detta '''pura''' se gli insiemi delle precondizioni e delle postcondizioni sono '''disgiunti'''. Vuol dire che non esistono anelli che congiungono una transizione con se stessa, e lo possiamo scoprire anche nelle matrici I e O che vedremo successivamente.

Il requisito di purezza di una rete di Petri è fondamentale per poter dimostrare alcuni teoremi matematici su di essa.

* '''I''' e '''O''' sono due matriciti '''|P| x |T|''', traduzioni di '''T''' in un '''multinsieme''' di posti

La faccenda del multinsieme è un po' particolare... Innanzitutto, un multinsieme è un insieme in cui un elemento può comparire più volte.. Il generico elemento '''I(i,j)''' rappresenta l''''input''' della transizione '''j'''. Il generico elemento '''O(i,j)''' rappresenta invece l''''output''' della transizione '''j'''.

Il fatto di rappresentare le precondizioni e le postcondizioni tramite matrici ci permette di rappresentare le '''variazioni di marcatura''' tramite un'altra matrice, chiamata '''C'''.\\

Pertanto il singolo elemento '''C(i,j)''' rappresenta la '''variazione di marcatura''' del posto '''i-esimo''' dovuta alla transizione '''j-esima'''.

E notiamo bene che è possibile utilizzare la matrice '''C''' al posto di '''I''' e di '''O''', perché le "riassume" entrambe, ma solo a condizione che la nostra rete di Petri sia '''pura''': il motivo è che se una rete non è pura, allora avrei dei posti che sono sia precondizione che postcondizione di qualche transizione, e pertanto non saprei come rappresentare la variazione di marcatura. Oh, è più facile da capire che da spiegare:)

che significa: la marcatura '''M'''' è equivalente alla marcatura iniziale '''M''', alla quale applico l'intera colonna '''i-esima''' della matrice '''C''', che è appunto la matrice delle variazioni di marcatura relative alla transizione '''i'''.

Dal punto di vista grafico, una freccia che conduce da un posto ad una transizione è etichettata da un numero che indica quanti token vengono spostati da quella transizione.

La soluzione a problemi di questo genere verrà in futuro, quando useremo i '''colori'''.

Esistono però gli '''automi con memoria''', detti '''PDA''', ovvero '''pushdown automata'''. La memoria, in questo tipo di automi, viene modellata tramite uno stack (push è l'operazione di mettere un elemento in cima allo stack). Le transizioni dipenderanno quindi dallo stato presente, dall'input e dall'elemento in cima allo stack, e porteranno ad un nuovo stato e ad una diversa cima dello stack.

Le '''precondizioni''' di una transizione è l'insieme di tutti quei posti che sono collegati alla transizione con delle frecce entranti (ovvero delle frecce che escono dai posti ed entrano nella transizione).

Si ha uno '''scatto''' quando una transizione viene attivata. La '''regola di scatto''' dice che una transizione scatta quando '''tutte le sue precondizioni sono soddisfatte''', il che vuol dire, secondo le definizioni viste qui sopra, che scatta quando tutti i posti ad essa collegati con frecce entranti sono pieni.

Nell'immagine qui sopra, possiamo immaginare che sia avvenuto uno scatto che abbia portato un token dal posto superiore al posto inferiore. Il risultato di uno scatto è una '''redistribuzione''' dei token, il che vuol dire, secondo la definizione di stato vista sopra, che una transizione, quando scatta, fa '''cambiare stato''' alla mia rete di Petri. Questa è la '''semantica''' della mia rete di Petri: una funzione che associa il tempo alla diversa successione di stati. Se ogni stato è a sua volta una funzione che associa ad ogni posto un certo numero di token, allora la vita della rete di Petri è una successione di funzioni di questo tipo.

''...continua..''

''...continua...''