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:: Matematica del discreto - Guida agli esercizi 2°Parte ::
| 7 0 0| | 1 9 0| |-1 16 7|
|1 0 0| I = |0 1 0| |0 0 1|Il polinomio caratteristico sarà quindi così:
|(7-h) 0 0 | | 1 (9-h) 0 | | -1 16 (7-h)|
Ci sono due possibilità per capire se una matrice è diagonalizzabile.
È sufficiente una di queste due condizioni affinchè la matrice sia diagonalizzabile.
N.B. Se gli autovalori sono distinti la matrice è sempre diagonalizzabile!
La molteplicità geometrica di A è pari alla dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore A, in particolare mg=n-rK(A-AI)
|(7-9) 0 0 | |-2 0 0| m_a(9)=1 m_g(9)= 3-rk | 1 (9-9) 0 | rk| 1 0 0| = 2 m_g(9)=3-2=1 | -1 16 (7-9)| |-1 16 -2| |(7-7) 0 0 | | 0 0 0| m_a(7)=2 m_g(7)= 3-rk | 1 (9-7) 0 | rk| 1 2 0| = 2 m_g(7)=3-2=1 | -1 16 (7-7)| |-1 16 0|
N.B: Controllare che se ma(h1)+ma(h2)+...+ma(hn)=n è diagonalizzabile, in caso contrario devo confrontare ma e mg dei rispettivi autovalori.
Per calcolare gli autovettori:|(7-h) 0 0 | |x| A = | 1 9 0 | v = |y| | -1 16 7 | |z|
| 7x = 9x | x = 0 | 0| < x + 9y = 9y => < y = y => l'autovettore relativo | y| | -x + 16y + 7z = 9z | z = 8y all'autovalore 9 è ... |8y|
| 7x = 7x | x = x |0| < x + 9y = 7y => < y = -x/2 => l'autovettore relativo a 7 è |0| | -x + 16y + 7z = 7z | z = 0 |z|
La dimensione di una base è data dal numero di vettori da cui è composta.
N.B: Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su K e siano S e T due suoi sottospazi.
Es: in R3 si considerino i due sottospazi S e T definiti nel modo seguente.
Dopo aver determinato una base per S e T, determinare la dimensione e una base per S∩T e S+T.
Si può esprimere il generico vettore di S come:
quindi la dimensione di S è 2. (per trovare i due vettori della base di S occorre semplicemente assegnare dei valori “comodi” ad a e b)
Per quanto riguarda T una base sono i due vettori che lo generano:
quindi anche in questo caso la dimensione è 2.
Quindi, dato che S+T è contenuto in R3, la dimensione massima sarà 3:
dim(S+T)= | dim(S)+ | dim(T) | -dim(S∩T |
3= | 2+ | 2 | -1 |
2= | 2+ | 2 | -1 |
|(h+2k)| | k | | -h |
| 0| |0| (h+2k)+2k+h = 0 => 2h+4k=0 => h = 2k | k| = k|1| |2k| |2|
,.--.,,.--.,
Es2: si consideri il sottospazio di R3:
a) determinare la dimensione e una base per X
b) determinare due diversi sottospazi complementari di X in R3
|-2c| |0| |-2| | b | = b|1| + c| 0| | c | |0| | 1|
(Teorema importante) Teorema di nullità più rango:
Es: Si dimostri che esiste uno ed un solo omomorfismo f:R3 R3 tale che:
|1| |3| |0| |0| |0| | 3| f|2| = |6| , f|1| = |4| , f|2| = | 3| |0| |0| |1| |4| |0| |-4|Il teorema di determinazione di un omomorfismo garantisce la proprietà se i tre vettori
|1| |0| |0| |2| , |1| , |2| |0| |0| |0|
|1 0 0| det|2 1 2| = -2 != 0 |0 1 0|
I vettori sono una base perchè il determinante è diverso da zero, quindi l'omomorfismo c'è ed è unico.
vuol dire che l'immagine “presunta” non appartiene al codominio (non è immagine).
Dati i vettori faccio la canonica di ogni vettore e trovo la matrice associata.
Es: Si consideri l'omomorfismo
determinare la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica di R3.
Risulta:
Per trovare il nucleo devo mettere le equazioni uguali a zero (attenzione però a non eliminare le incognite!)