(:title Ricerca Operativa - Esercizi di laboratorio:)
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Esercizio 1: Patate
Problema
Un’azienda produce pacchi di patatine surgelate sia a bastoncino (A) che in pezzi più piccoli (B) e di fiocchi surgelati per il puré (C). L’azienda acquista da due produttori (1 e 2) con rese differenti.
(:table width=50% border="1":)
(:cellnr:)Produttore
(:cell:)A
(:cell:)B
(:cell:)C
(:cellnr:)1
(:cell:)20%
(:cell:)20%
(:cell:)30%
(:cellnr:)2
(:cell:)30%
(:cell:)10%
(:cell:)30%
(:tableend:)
Tutto ciò che viene da 1 si trasforma per il 20% in A, 20% in B e 30% in B.
Tutto ciò che viene da 2 si trasforma per il 30% in A, 10% in B e 30% in B.
L’avanzo del 30% per entrambi i produttori è lo scarto non recuperabile.
Il profitto dell’azienda è di 2 centesimi di Euro per ogni chilogrammo di patate provenienti dal produttore 1 e di 3 centesimi/Kg per quelle provenienti dal produttore 2.
Ci sono delle limitazioni alle quantità massime di ciascun tipo di prodotto: 6 tonnellate di A, 4 di B e 8 di C.
Formalizzazione
Dati
(:table:)
(:cellnr:)P = 2
(:cell:)produttori
(:cell:)
(:cellnr:)N = 3
(:cell:)prodotti
(:cell:)
(:cellnr:)aij
(:cell:)resa del prodotto j (1, ... , N) per il produttore i (1, ... , P)
(:cell:)[%]
(:cellnr:)bi
(:cell:)profitto corrispondente al produttore i (1, … , P)
(:cell:)[cent/kg]
(:cellnr:)lj
(:cell:)limiti di produzione per il prodotto j (1, ... , N)
(:cell:)[ton]
(:tableend:)
Variabili
(:table:)
(:cellnr:)xi ≥ 0
(:cell:)quantità acquistata dal produttore i (1, ... , P)
(:cell:)[ton]
(:tableend:)
Notare il maggiore uguale a 0, condizione necessaria dato che non posso acquistare una quantità negativa di prodotto.
Per quanto riguarda le unità di misura in questo caso non sono così vincolanti, dipende se voglio un calcolo più veloce per verificare i limiti di produzione o per ricavare il profitto. A seconda della scelta che faccio dovrò convertire le unità di misura dei dati interessati.
Vincoli
(:table:)
(:cellnr:)∑i aij • xi ≤ lj
(:cell:)per ogni j = 1, ... , N
e con i = 1, … , P
(:cell:)[ton]
(:tableend:)
Funzione obiettivo
Massimizzare il profitto, ovviamente.
(:table:)
(:cellnr:)max ∑i bi • xi • 10
(:cell:)[€]
(:tableend:)
Classificazione del problema
Osservazioni da fare:
- le variabili sono continue o no?
- i vincoli sono lineari o no?
Le variabili sono variabili continue.
I vincoli sono espressi con un polinomio di primo grado, quindi il modello è lineare.
La funzione obiettivo è espressa con un polinomio di primo grado, quindi il modello è lineare.
Riassumendo: è un problema di programmazione lineare.