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:: Ricerca Operativa - PL - Radioterapia - 20.02.06 ::
Nel trattamento anti-tumorale con radioterapia è possibile irraggiare la parte malata da diverse posizioni ed angolature e con diverse intensità. Per ognuna di queste possibilità tuttavia bisogna tener conto degli effetti collaterali nocivi che il trattamento provoca sugli organi adiacenti la massa tumorale.
Si supponga di conoscere un insieme discreto di possibilità di irraggiamento di un tumore e e di voler decidere con quale intensità effettuare l’irraggiamento per ciascuna di esse. Si considerano un dato numero di organi adiacenti da preservare e per ogni possibilità di irraggiamento è noto un coefficiente che esprime la percentuale di radiazione che colpirebbe il tumore e la percentuale di radiazione che colpirebbe ciascuno degli organi adiacenti.
La quantità totale di radiazioni usabile nel trattamento è limitata e ci sono soglie massime anche sulle quantità riferite ad ogni singola possibilità di irraggiamento.
Si vuole massimizzare l’effetto delle radiazioni sul tumore, cioè la quantità totale di radiazioni assorbite dal tumore, nel rispetto di alcune soglie massime di tolleranza per i livelli di radiazione assorbiti da ciascun organo adiacente.
Formulare il problema, classificarlo e risolverlo con i dati del file TERAPIA.TXT.
Le posizioni da cui è possibile irraggiare il tumore sono 5. Gli organi adiacenti il tumore sono 7. Tabella 1: Coefficienti di assorbimento delle radiazioni [%] Posizione 1 2 3 4 5 tumore 0.4 0.3 0.25 0.7 0.5 organo 1 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 <= 55 organo 2 0.1 0.0 0.15 0.0 0.1 <= 90 organo 3 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 <= 60 organo 4 0.0 0.2 0.1 0.1 0.0 <= 24 organo 5 0.1 0.0 0.2 0.0 0.1 <= 70 organo 6 0.1 0.3 0.15 0.1 0.1 <= 55 organo 7 0.2 0.1 0.15 0.0 0.0 <= 95 Tabella 2: Limiti massimi di tolleranza per ogni organo organo 1 55 organo 2 90 organo 3 60 organo 4 24 organo 5 70 organo 6 55 organo 7 95 Tabella 3: Limiti massimi di radiazione erogabile per ogni posizione Posizione Limite 1 120 2 130 3 100 4 150 5 150 Limite massimo complessivo per le radiazioni = 600
xj (quantità di radiazione erogata nella posizione j=1..5)
La variabile è continua e non negativa.
Vogliamo massimizzare il totale di radiazioni assorbite dal tumore. Notare che i coefficienti di assorbimento utilizzati sono tutti relativi al target 1 (il tumore) nelle varie posizioni.
max (somma)j xj * coefAss1j
! esercizio – Radioterapia ! variabili: x(j) = quantità di radiazione erogata nella posizione j ! la variabile è continua e non negativa ! funzione obiettivo max 0.4 x1 + 0.3 x2 + 0.25 x3 + 0.7 x4 + 0.5 x5 st ! vincolo sul limite massimo complessivo di radiazioni erogabili limMax) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 <= 600 ! vincoli sul limite massimo di tolleranza degli organi organo1) 0.1 x1 + 0.0 x2 + 0.0 x3 + 0.1 x4 + 0.2 x5 <= 55 organo2) 0.1 x1 + 0.0 x2 + 0.15 x3 + 0.0 x4 + 0.1 x5 <= 90 organo3) 0.0 x1 + 0.1 x2 + 0.0 x3 + 0.0 x4 + 0.0 x5 <= 60 organo4) 0.0 x1 + 0.2 x2 + 0.1 x3 + 0.1 x4 + 0.0 x5 <= 24 organo5) 0.1 x1 + 0.0 x2 + 0.2 x3 + 0.0 x4 + 0.1 x5 <= 70 organo6) 0.1 x1 + 0.3 x2 + 0.15 x3 + 0.1 x4 + 0.1 x5 <= 55 organo7) 0.2 x1 + 0.1 x2 + 0.15 x3 + 0.0 x4 + 0.0 x5 <= 95 ! vincoli sui limiti massimi di radiazione erogabili per ogni posizione limPos1) x1 <= 120 limPos2) x2 <= 130 limPos3) x3 <= 100 limPos4) x4 <= 150 limPos5) x5 <= 150 end
Dobbiamo scegliere tra le soglie attive all'ottimo, ovvero quelle con prezzo ombra diverso da 0.
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES LIMMAX) 100.000000 0.000000 ORGANO1) 0.000000 2.500000 ORGANO2) 50.500000 0.000000 ORGANO3) 60.000000 0.000000 ORGANO4) 0.000000 2.500000 ORGANO5) 26.000000 0.000000 ORGANO6) 0.500000 0.000000 ORGANO7) 57.500000 0.000000
Nel nostro caso ne abbiamo solo due, ovvero quelle relative agli organi 1 e 4. Come scegliere tra le due? I prezzi ombra non ci aiutano dato che sono uguali, l'analisi di sensitività non ci dice nulla sul come cambierebbe il valore ottimo rimuovendo il vincolo, quindi facciamo l'analisi parametrica di entrambi i vincoli e confrontiamo tra le soluzioni ottenute qual è la migliore.
Organo 1:
RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: ORGANO1 VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL 55.0000 2.50000 245.500 SLK 8 SLK 6 8 56.0000 2.50000 248.000 SLK 14 SLK 3 10 57.0000 1.66667 249.667 1000.00 0.000000E+00 249.667
Eliminando il vincolo sull'organo 1 raggiungiamo un valore di 249.667
Organo 4:
RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: ORGANO4 VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL 24.0000 2.50000 245.500 SLK 8 SLK 6 8 24.3333 2.50000 246.333 1000.00 0.000000E+00 246.333
Eliminando il vincolo sull'organo 4 raggiungiamo un valore di 246.333
Quindi conviene eliminare il vincolo sull'organo 1.