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Ricerca Operativa - PL - Chitarre - 20.01.05
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Ricerca Operativa - PL - Chitarre - 20.01.05

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Testo del problema

Un produttore internazionale di strumenti musicali realizza tre tipi di chitarre elettriche (De’ Paoli, Little Diablo e Stradivarius).
La produzione di ogni tipo di chitarra è svolta in quattro stadi: realizzazione del corpo e del manico (svolta dal reparto “falegnameria”), realizzazione dei “pickup” (svolta dal reparto “elettrotecnici”), realizzazione dei circuiti (sempre svolta dal reparto elettrotecnici), finitura (svolta dal reparto “liutai”).
La lavorazione di ciascun prodotto comporta un consumo, in termini di ore di lavoro, in ogni reparto, noto a priori. Il numero di ore di lavoro disponibili è limitato dal numero di addetti in ogni reparto. Per questioni di immagine, il produttore deve realizzare un quantitativo minimo di chitarre.
Il ricavo derivante dalla vendita di ogni chitarra è noto a priori. Il produttore vuole ottimizzare la produzione settimanale di chitarre.
Formulare il problema con i dati del file CHITARRE.TXT, classificarlo, risolverlo e discutere l’ottimalità e l’unicità della soluzione ottenuta.

Dati

Tab. 1) Ricavo per unità di produzione di chitarre (euro/unità)

De'Paoli   LittleDiablo     Stradivarius

  350		160		100

===========================================================================
Tab. 2) Numero di addetti in ogni reparto

Reparto         Numero di addetti

Falegnameria           10
Elettrotecnica          5
Liuteria                3

Ogni addetto lavora 8 ore al giorno, per 5 giorni ogni settimana.

===========================================================================
Tab. 3) Tempi necessari alla lavorazione delle chitarre in ogni stadio 
        (ore/unità)

		De'Paoli   LittleDiablo	   Stradivarius
Stadio

corpo e manico     2            4               1
pickup 		   1            2.5             0.5
circuiti           1            1.5             1
finiture           4            1               1

===========================================================================

La quantità minima di chitarre da produrre è 100 unità ogni settimana.

Formulazione del problema

Dati

  • c = 3 (numero tipi chitarre elettriche)
  • s = 4 (numero stadi produzione)
  • r = 3 (numero reparti di produzione)
  • orelav = 40 (ore di lavoro a settimana) [ore/settimana]
  • rici (ricavo per unità di produzione del tipo di chitarra i = 1..3) [€/unità]
  • addj (numero addetti nel reparto j=1..3)
  • temij (tempo di lavorazione nel reparto j=1..3 sul tipo di chitarra i=1..3) [ore/unità]
  • qmin = 100 (numero minimo di unità da produrre a settimana) [unità/settimana]

Variabili

  • xi >= 0 (unità di chitarre di tipo i=1..3 da produrre a settimana) [unità/settimana]

La variabile è continua e non negativa.

Funzione obiettivo

Dobbiamo massimizzare il ricavo totale settimanale
max (somma)i xi * rici [€/settimana]

Vincoli

  • vincolo sulla produzione minima di chitarre a settimana
    (somma)i xi >= qmin [unità/settimana]
  • vincolo sul limite di ore lavorative per reparto
    (somma)j xi * temij <= addj * orelav (per ogni tipo di chitarra i = 1..3) [ore/settimana]

Lindizzazione del problema

! esercizio - Chitarre

! variabili:	x(i) = unità di chitarre di tipo i da produrre a settimana 
!                      [unità/settimana]
! la variabile è continua e non negativa

! funzione obiettivo [€/settimana]
max 350 x1 + 160 x2 + 100 x3

st

! vincolo sulla produzione minima [unità/settimana]
prodMin) x1 + x2 + x3 >= 100

! vincoli sulle ore lavorative per reparto [ore/settimana]
falegna) 2 x1 + 4 x2 + 1 x3 <= 400
elettro) 2 x1 + 4 x2 + 1.5 x3 <= 200
liuteri) 4 x1 + 1 x2 + 1 x3 <= 120

end

Altre domande

Un addetto del reparto falegnameria ritiene di aver acquisito abbastanza esperienza e chiede di essere integrato nel reparto liutai. Minaccia di licenziarsi nel caso in cui la sua richiesta non venisse esaudita. Il responsabile dell’amministrazione del personale comunica che lo stipendio settimanale di un falegname è 250 euro, mentre quello dei liutai è 500 euro. Dal punto di vista economico, qual è la scelta più vantaggiosa: promuovere il falegname o accettare le sue dimissioni?

Come prima cosa osserviamo i dati dell'analisi post-ottimale:

 Variable           Value        Reduced Cost
                             X1        6.666667            0.000000
                             X2        18.66667            0.000000
                             X3        74.66667            0.000000

                            Row    Slack or Surplus      Dual Price
                              1        12786.67            1.000000
                        PRODMIN        0.000000           -15.33333
                        FALEGNA        237.3333            0.000000
                        ELETTRO        0.000000            24.00000
                        LIUTERI        0.000000            79.33333

Come si può osservare dalla colonna "Slack or Surplus" le ore di lavoro nel reparto falegnameria non sono una risorsa scarsa: il valore infatti non solo è diverso da 0, ma è anche maggiore delle 40 ore a cui dovremo rinunciare se un addetto se ne va, quindi possiamo tranquillamente farne a meno senza che ci siano conseguenze a livello di produzione. Per quanto riguarda il reparto liuteria osserviamo invece dalla colonna "Dual Price" che saremmo disposti a pagare un nuovo dipendente oltre 79 euro all'ora, quindi circa 79 * 40 (ore settimanali) = 3160 euro settimali, a fronte dei 500 richiesti!! Direi che la direzione dovrebbe accettare al volo il trasferimento del falegname!

Un rappresentante dei liutai fa presente che ogni nuovo arrivato è meno produttivo dei suoi colleghi più esperti: stima che ogni quattro ore di lavoro, un’ora debba essere impiegata per la sua formazione. Qual è, a breve termine, la scelta più vantaggiosa in questo caso?

Un'ora di formazione ogni quattro ore di lavoro significa in una settimana: 10 ore di formazione, 30 ore di lavoro. Correggiamo quindi il calcolo di prima: 79 * 30 = 2370 euro settimanali. L'offerta di trasferimento continua a rimanere più che vantaggiosa

I liutai sono ansiosi di sperimentare un nuovo tipo di vernice per il modello “Little Diablo”. L’addetto al marketing ritiene che l’idea potrebbe essere sfruttata come trovata pubblicitaria, ed il prezzo di produzione delle chitarre “Little Diablo” portato da 160 euro a 200 euro per unità. Questa scelta determinerebbe un cambiamento della soluzione ottima?

Chiediamo a Lindo di mostrarci gli intervalli di valori in cui le basi non cambiano. Nella mia versione devo andare sul menu: LINGO -> Range

 Ranges in which the basis is unchanged:

                                      Objective Coefficient Ranges
                                  Current        Allowable        Allowable
                Variable      Coefficient         Increase         Decrease
                      X1         350.0000         INFINITY         46.00000
                      X2         160.0000         1190.000         28.75000
                      X3         100.0000         8.214286         INFINITY

                                           Righthand Side Ranges
                     Row          Current        Allowable        Allowable
                                      RHS         Increase         Decrease
                 PRODMIN         100.0000         20.00000         40.00000
                 FALEGNA         400.0000         INFINITY         237.3333
                 ELETTRO         200.0000         186.6667         46.66667
                 LIUTERI         120.0000         280.0000         20.00000

Dalla colonna "Allowable Increase" leggiamo che le Diablo (X2) possono aumentare fino a 1190 euro senza che cambi la soluzione ottima (al più cambia il suo valore).

Valutare, infine, la possibilità di espandere il reparto elettrotecnica, assumendo nuovi esperti: sapendo che lo stipendio settimanale di un elettrotecnico è 600 euro, quanti nuovi elettrotecnici è utile assumere?

Prima di tutto calcoliamo quanto ci costa un elettrotecnico, e vediamo che questa cifra è pari a 600 / 40 = 15 euro all’ora. Ora facciamo l'analisi parametrica rispetto al vincolo sulle ore disponibili nel reparto elttrotecnica, portando il termine noto da 200 a (inventiamo, abbondando) 10000. Ecco cosa succede:

RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: ELETTRO

    VAR       VAR    PIVOT    RHS       DUAL PRICE      OBJ
    OUT       IN      ROW     VAL      BEFORE PIVOT     VAL

                            200.000       24.0000       12786.7
       X3  SLK    2     5   386.667       24.0000       17266.7
 SLK    3        X3     3   400.000       20.7143       17542.9
       X1  SLK    4     2   413.333       4.28571       17600.0
                            10000.0      0.000000E+00   17600.0

Quando il termine noto assume valore 386.667 il prezzo duale è pari a 24 euro, quindi riusciremmo a pagare ancora un altro elettrotecnico, quindi passiamo a considerare la riga dopo.
Quando il termine noto assume valore 400 il prezzo duale è pari a 20.7143 euro, quindi riusciremmo a pagare ancora un altro elettrotecnico, quindi passiamo a considerare la riga dopo.
Quando il termine noto assume valore 413.333 il prezzo duale è pari a 4.28571, quindi non riusciremmo a pagare un altro elettrotecnico, quindi torniamo a considerare la riga precedente. Questa ci dice che possiamo incrementare il termine noto (quindi le ore disponibili nel reparto elettrotecnico) da 200 a 400 continuando a migliorare il valore della funzione obiettivo. Quindi quanti elettrotecnici posso assumere? L'incremento è di 200, le ore settimanali sono 40, quindi 200 / 40 = 5 nuove assunzioni!


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