Swappa : Uni / Ricerca Operativa - PL - Elettrodomestici - 24.07.07

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 :: Ricerca Operativa - PL - Elettrodomestici - 24.07.07 ::

Testo del problema

Un rivenditore di elettrodomestici si rifornisce settimanalmente presso l’impianto di produzione. Il mezzo di trasporto utilizzato per il rifornimento è un furgone di capacità limitata. Gli elettrodomestici prima di essere venduti devono essere ispezionati e collaudati e ciò richiede un certo tempo da parte degli addetti del negozio.
La casa produttrice degli elettrodomestici inoltre impone che quando un rivenditore autorizzato si rifornisce dal grossista, egli acquisti elettrodomestici in proporzioni variabili entro certi limiti.
Il rivenditore conosce il prezzo di vendita sul mercato dei vari elettrodomestici.
Formulare il problema, classificarlo e risolverlo con i dati del file ELETTRODOMESTICI.TXT.

Dati

Tabella 1: Prezzi di vendita degli elettrodomestici

    Prodotto       Prezzo (Euro/pezzo)
Forno a microonde   130
Friggitrice          50
Frullino             20

Tabella 2: Volume occupato nel veicolo

    Prodotto       Volume (litri/pezzo)
Forno a microonde    40
Friggitrice          75
Frullino             12

La capacità del veicolo è di 7200 litri.

Tabella 3: Tempo di ispezione e collaudo

    Prodotto       Tempo (min/pezzo)
Forno a microonde    10
Friggitrice           5
Frullino              5

Il tempo disponibile ogni settimana per l'ispezione e il collaudo è di 1
 ora al giorno da parte di ciascuno dei 4 tecnici del negozio.

Tabella 4: Limiti alle proporzioni di elettrodomestici acquistati

    Prodotto       Percentuale min e max sul totale di pezzi acquistati
Forno a microonde    10   50
Friggitrice           5   40
Frullino             30   50

La settimana comprende 5 giorni lavorativi.

Formulazione del problema

Dati

• prodotti = 3 (numero di prodotti)
• prezzo_i (prezzo del prodotto i=1..3) [€]
• capacita = 7200 (capacità massima del furgone) [litri]
• vol_i (volume occupato dal prodotto i=1..3) [litri]
• tempoIspColl_i (tempo di ispezione e collaudo del prodotto i=1..3) [minuti/giorno]
• tempoDisp = 1200 (tempo disponibile in un giorno per l'ispezione e il collaudo) [minuti/settimana]
• propMin_i (percentuale minima sul totale di prodotti i=1..3 acquistati) [%]
• propMax_i (percentuale massima sul totale di prodotti i=1..3 acquistati) [%]

Variabili

• x_i (quantità di prodotto i acquistato in una settimana)

La variabile è continua e non negativa.

Funzione obiettivo

max (somma)_i x_i * prezzo_i

Vincoli

• vincolo sulla capacità del furgone:
  (somma)_i x_i * vol_i <= capacita
• vincolo sul tempo disponibile per ispezione e collaudo al giorno:
  (somma)_i x_i * tempoIspColl_i <= tempoDisp
• vincolo sulla percentuale minima da acquistare sul totale dei prodotti:
  [x_i / ((somma)_i x_i)] >= propMin_i
  che dovrò linearizzare...
  x_i >= ((somma)_i x_i) * propMin_i
  e spostare i termini noti a sinistra:
  x_i - ((somma)_i x_i) * propMin_i >= 0
  Dato però che in Lindo non si riesce proprio ad associare un coefficiente a una somma di tre variabili, dovremo per forza definire una variabile ausiliaria che rappresenti tale somma. Quindi:
  x1 + x2 + x3 - tot = 0
  Questa variabile tot la useremo nell'ultimo vincolo che abbiamo scritto sopra, e giuro che abbiamo finito:
  x_i - tot * propMin_i >= 0
• vincolo sulla percentuale massima da acquistare sul totale dei prodotti (applico da subito le trasformazioni viste per il vincolo precedente):
  x_i - tot * propMax_i <= 0

Lindizzazione del problema

! esercizio - Elettrodomestici
! variabili: x(i) = quantità di prodotto i acquistato
! la variabile è continua e non negativa
! funzione obiettivo
max 130 x1 +  50 x2 + 20 x3

st

! vincolo sulla capacità del furgone
capac) 40 x1 + 75 x2 + 12 x3 <= 7200

! vincolo sul tempo disponibile per ispezione e collaudo
tempo) 10 x1 + 5 x2 + 5 x3 <= 1200

! vincolo per definire la variabile ausiliaria tot
tot) x1 + x2 + x3 - tot = 0

! vincolo sulla percentuale minima
min1) x1 - 0.10 tot >= 0
min2) x2 - 0.05 tot >= 0
min3) x3 - 0.30 tot >= 0 

! vincolo sulla percentuale massima
max1) x1 - 0.50 tot <= 0
max2) x2 - 0.40 tot <= 0
max3) x3 - 0.50 tot <= 0

end

Altre domande

Quali tipi di elettrodomestico è conveniente vendere e quali no?

Bisogna guardare il report del risultato, in particolare in corrispondenza dei vincoli minimi sulle percentuali alla colonna "Slack or surplus":

ROW   SLACK OR SURPLUS     DUAL PRICES
    CAPAC)      1024.000000          0.000000
    TEMPO)         0.000000         10.800000
   TOTAUS)         0.000000         -4.000000
     MIN1)        64.000000          0.000000
     MIN2)        24.000000          0.000000
     MIN3)         0.000000        -30.000000
     MAX1)         0.000000         26.000000
     MAX2)        32.000000          0.000000
     MAX3)        32.000000          0.000000

E' evidente che il prodotto più conveniente da produrre è il primo (che ha valore 64), mentre il meno conveniente è il terzo che è attivo (ha valore 0).

Per ogni elettrodomestico non conveniente, quale è il minimo aumento di prezzo che lo potrebbe rendere conveniente?

Per rispondere a questa domanda dobbiamo osservare i risultati dell'analisi di sensitività, in cui vediamo che:

                          OBJ COEFFICIENT RANGES
 VARIABLE         CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE
                   COEF          INCREASE         DECREASE
       X1      130.000000         INFINITY        39.000000
       X2       50.000000        22.941177        30.000000
       X3       20.000000        30.000000       270.000000
      TOT        0.000000        39.000000        81.000000

Quindi perché il terzo prodotto diventi conveniente bisognerà aumentare il suo prezzo di 30 unità.

Quali sono le risorse scarse?

Le due risorse in esame sono la capacità del furgone e il tempo disponibile, e dal report del risultato osserviamo che:

ROW   SLACK OR SURPLUS     DUAL PRICES
    CAPAC)      1024.000000          0.000000
    TEMPO)         0.000000         10.800000

Ovvero è il tempo la risorsa scarsa, dal momento che il suo vincolo è attivo (vale 0).

Quanto dovrebbe essere disposto a pagare il rivenditore per assumere un tecnico in più per l’ispezione ed il collaudo degli elettrodomestici?

Assumendo un altro tecnico avremo 5 * 60 = 300 minuti in più a settimana per il collaudo. Facciamo quindi l'analisi parametrica del problema, aumentando il valore del termine noto del vincolo sul tempo da 1200 a 1500.

 RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: TEMPO
    VAR       VAR    PIVOT    RHS       DUAL PRICE      OBJ
    OUT       IN      ROW     VAL      BEFORE PIVOT     VAL

                            1200.00       10.8000       12960.0
 SLK    2  SLK    7     2   1398.96       10.8000       15108.8
                            1500.00       8.34921       15952.4

Osserviamo dalla colonna "Dual price" che i prezzi-ombra del vincolo scendono, ma il valore ottimo aumenta di 15952.4 - 12960.0 = 2992,4 €. Questa cifra è esattamente quella che il rivenditore dovrebbe essere disposto a pagare per un tecnico in più.

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