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Il '''gruppo''' è un insieme di elementi, in cui è definita l'operazione binaria '''+'''. NON È la somma, è una qualsiasi operazione che agisce su due operandi (binaria), e che ha le seguenti proprietà to:
Il '''gruppo''' è un insieme di elementi, in cui è definita l'operazione binaria '''+'''. NON È necessariamente la somma come la intendiamo noi, potrebbe essere una qualsiasi operazione che agisce su due operandi (binaria), e che ha le seguenti proprietà
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(:title Crittografia: Gruppi, Anelli e Campi:)
%titolo%''':: Crittografia: Gruppi, Anelli e Campi ::'''
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!!!I gruppi {G, +}
Il '''gruppo''' è un insieme di elementi, in cui è definita l'operazione binaria '''+'''. NON È la somma, è una qualsiasi operazione che agisce su due operandi (binaria), e che ha le seguenti proprietà
* '''chiusura''': per ogni a e b appartenenti a G, a + b appartiene a G
* '''associatività''': (a + b) + c = a + (b + c)
* '''esistenza dell'elemento identità''': in altre parole il neutro, che per intenderci è quello che mi rende possibile l'operazione a + e = e + a = a, con '''e''' che è l'elemento identità
* '''esistenza dell'inverso''': per ogni a appartenente a G, esiste un a' tale che a + a' = 0 (0 è il neutro)
Per esempio, prendiamo un insieme, '''Nn''', composto da '''n''' simboli distinti. E poi, di questo insieme facciamo tutte le n! possibili permutazioni, e le raggruppiamo in un insieme, '''Sn'''. '''Sn''' è quindi l'insieme di tutte le permutazioni di n simboli distinti.
Bene, è possibile dimostrare che '''Sn''' è un '''gruppo''', ovvero valgono le proprietà di cui sopra.
Un elemento di '''Sn''' può essere ad esempio: {3, 1, 2} supponendo che '''Nn''' abbia tre elementi. La scrittura {3, 1, 2} significa che prendo il primo elemento di Nn, e lo metto nel 3° posto, poi il 2° e lo metto nel 1° ed infine il 3° lo metto nel 2°. Indica praticamente le '''destinazioni''' degli elementi.
L'operazione '''+''' la definiamo così: {3, 1, 2} + {α, β, γ} = {γ, β, α}, per la regola qui sopra. Prendo il secondo elemento e lo spaciugo secondo quanto mi dice il primo elemento.
Quest'operazione in Sn gode delle proprietà di:
* '''chiusura''': sì
* '''associatività''': sì
* '''elemento identità''': sì, ed è {1, 2, 3} che trasforma sempre una permutazione in se stessa
* '''esiste l'inverso''': sì, e l'inverso di una permutazione è quella permutazione che sommata alla prima mi dà il neutro. Ad esempio, {1, 3, 2} + {1, 3, 2} = {1, 2, 3}
Se '''n''' è un numero finito, allora il gruppo è detto '''finito''' e l''''ordine''' del gruppo è '''n'''. Altrimenti è un gruppo '''infinito'''.
!!!Gruppo Abeliano
È un gruppo, in cui per l'operazione '''+''' vale anche la proprietà aggiuntiva:
* '''commutatività''' = a+ b = b + a, per ogni a, b appartenenti a G
!!!Gruppo ciclico
Definiamo l''''elemento a potenza''' come la ripetizione dell'operazione '''+''' (qualsiasi cosa il '''+''' voglia dire, ovviamente).
Vigono codeste proprietà:
* a'^3^' = a + a + a
* a'^0^' = e, dove '''e''' è l'elemento identità
* a'^-n^' = (a')'^n^', dove '''a'''' è l'inverso di '''a'''
Orbene, un gruppo si dice '''ciclico''' se esiste un '''a''' tale che, elevato a potenza, genera tutti gli elementi del gruppo {G, +}. Tale elemento '''a''' è detto '''generatore''' del gruppo.
Per intenderci, prendiamo il gruppo degli interi >= 0, con l'operazione +: {N+, +}. L'elemento 1 è un generatore. Infatti, le potenze saranno 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, 1+1+1...+1 e generano tutti gli elementi del gruppo (gli interi maggiori di 0).
!!!Anello
Un anello si segna così: '''{R, +, *}''', cioè è un insieme di elementi in cui sono definite 2 operazioni binarie, + e * (in seguito spesso ometteremo il segno * per indicare la seconda operazione, proprio come si fa con le moltiplicazioni).
Le proprietà che deve avere sono:
* rispetto al +, deve essere un '''gruppo abeliano'''
* '''chiusura''' rispetto a *
* '''associatività''' rispetto a *
* '''distributività''': a(b+c) = ab + ac; (a+b)c = ac + cb
L'anello insomma è un insieme di elementi in cui valgono somma, sottrazione e moltiplicazione.
!!!Anello commutativo
Se vale anche la '''proprietà commutativa''' per l'operazione *, allora l'anello è un '''anello commutativo'''.
!!!Dominio integrale
Un '''dominio integrale''' è un anello commutativo in cui vigono anche queste proprietà:
* '''esiste l'elemento identità''' per *
* '''annullamento del prodotto''': se ab = 0, allora ho o che a=0, o che b=0
Per esempio, l'insieme di tutti gli interi, positivi, negativi, e con lo 0, e con le normali operazioni + e *, è un '''dominio integrale'''.
!!!Campo
Il '''campo''' è un dominio integrale {F, +, *} in cui esiste anche l''''inverso moltiplicativo''':
* per ogni a appartenente ad F, esiste un a'^-1^' tale che aa'^-1^' = a'^-1^'a = 1, dove 1 è l'elemento identità
Insomma, ogni numero ha il suo inverso, e vuol dire che un campo è un insieme di elementi in cui sono definite somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni.
!!!Riassuntino
(:table border=0 width=80%:)
(:cellnr style='padding:5px;' bgcolor=#9ab6d0:)
'''{G, +}'''
(:cell style='padding:5px;' bgcolor=#9ab6d0:)
'''{R, +, *}'''
(:cell style='padding:5px;' bgcolor=#9ab6d0:)
'''{F, +, *}'''
(:cellnr style='padding:5px;':)
Gruppo
(:cell style='padding:5px;':)
Anello
(:cell style='padding:5px;':)
Campo
(:cellnr style='padding:5px;':)
Gruppo abeliano
(:cell style='padding:5px;':)
Anello commutativo
(:cell style='padding:5px;':)
(:cellnr style='padding:5px;':)
Gruppo ciclico
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Dominio integrale
(:cell style='padding:5px;':)
(:tableend:)
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