:: RO - Esercitazione 7 gennaio 2008 - Esercizio senza numeri ::
Questo è l'ultimo esercizio che si trova nel file .doc presente su Titano, quello con su i vari esercizi. Non ha numeri, nel senso che ce l'ha fatto fare solo a livello di modello, per capire di che cosa si tratta.
Problema
Nel laboratorio di Fisica un gruppo di studenti ha fatto esperimenti sulla prima legge di Ohm (V = R I). Ogni studente ha misurato la tensione su diversi resistori che appartengono a tratti di circuito in parallelo tra loro e poi ha misurato l’intensità di corrente complessiva uscente dal circuito. L’intensità di corrente I(i) misurata dallo studente i è quindi la somma di diversi contributi, ciascuno dovuto ad uno dei tratti di circuito; ogni contributo è pari al rapporto tra la tensione V(i,j) misurata su un resistore j dallo studente i e la resistenza R(j) incognita.
Si sa che l’amperometro è soggetto ad errori di misura, mentre si suppone che le misure delle tensioni siano precise. Il problema che gli studenti devono affrontare è quello di calcolare i valori delle resistenze che meglio spiegano i dati sperimentali raccolti. Perciò ogni studente i definisce l’errore e(i) come la differenza tra l’intensità di corrente complessiva I(i) da lui misurata e la somma dei contributi relativi ai diversi tratti di circuito (che dipendono dalle resistenze R(j) incognite). Il gruppo di studenti deve quindi stabilire i valori delle resistenze incognite che rendono minima una funzione dell’errore.
L’insegnante propone tre criteri:
- minimizzare il massimo errore in valore assoluto
- minimizzare il valor medio degli errori
- minimizzare l’errore quadratico medio
Modello
Dati
I dati che il testo del problema dice che noi abbiamo sono i seguenti:
- Ii = intensità di corrente misurata dall'i-esimo studente
- Vj,i = tensione sul j-esimo resistore misurata dall'i-esimo studente
Variabili
Quello che dobbiamo scoprire, sempre leggendo il testo, è questo:
- Rj = resistenza del j-esimo resistore
- ei = errore che l'i-esimo studente rileva
La variabile ei è una variabile ausiliaria, definita qui sotto con un bel vincolo.
Vincoli
Il vincolo di questo problema è la legge di Ohm unita alla rilevazione dell'errore. In pratica si tratta di un vincolo che serve per definire la ei:
V/R mi dà l'intensità di corrente teorica. Ii è quella che lo studente misura. ei è la discrepanza tra quella misurata e quella teorica. Qui non ho più Vi,j, ma solo Vi: infatti, uso comunque la rilevazione della tensione complessiva sull'intero circuito, e non mi interessa quella sul singolo componente, perché tanto è la stessa.
Funzioni obiettivo
Nel problema vengono presentate 3 funzioni obiettivo. Le discutiamo una alla volta
Minimizzare il massimo errore, in valore assoluto
Già da come viene definita, questa funzione obiettivo è del genere min max, e va trattata in un certo modo: occorre una variabile ausiliaria, qui chiamata delta.
Vediamo poi come andare a trovare il massimo errore in valore assoluto:
delta >= ei
delta >= - ei
min delta
Perché sta roba funziona? Imponendo che delta sia maggiore dell'i-esimo errore, e che delta sia maggiore di 0 - ei, sto coprendo sia i casi in cui ei è positivo che quello in cui ei è negativo.
Per fare un esempio, se e1 = 3, ed e2 = -4, quanto vale l'errore massimo?
- delta >= 3
- delta >= -3
- delta >= -4
- delta >= 4
Quindi salta fuori che delta >= 4 mi identifica il massimo tra i due, in valore assoluto.
Una volta trovato il massimo, voglio trovare il minimo tra questi massimi.
Minimizzare il valor medio degli errori
Qui basta fare la somma degli errori, trovare la media, e minimizzare questa media:
min 1/7 * SOMMA ei
dove:
- SOMMA ei è la somma di tutti gli errori
- 1/7 è per fare la media
- min è per minimizzare
E' corretta? Purtroppo NO. Infatti, bisogna pensare al caso in cui si rilevano errori negativi, ed ovviamente la media va sotto lo zero. Più l'errore negativo è grande, più va sotto lo zero, e più sono felice perché sto minimizzando.
Occorre quindi che il valore assoluto dell'errore sia minimo.
Come si fa a trovare il valore assoluto? Con la solita delta ausiliaria:
1/N * SOMMA e'_i_ <= delta
- 1/N * SOMMA e'_i_ <= delta
min delta
Minimizzare l'errore quadratico medio
L'errore quadratico medio è la media del quadrato degli errori:
min 1/N SOMMA (ei)2
Osservazioni finali
Siamo felici di tutto ciò? Anche qui, la risposta è no... ed eccone i motivi.
Il vincolo non è lineare!
Eh no che non lo è, c'è una variabile al denominatore! La strategia qui è quella di levare questa variabile. Visto che non compare da nessun'altra parte, se riusciamo a convertirla in qualcos'altro, non creerà problemi al resto del problema.
La "magia" consiste nell'usare, invece di R, 1/R. Tra l'altro, 1/R è la conduttanza, mentre R è la resistenza.
In questo modo, il vincolo diventa
ei = Ii - SOMMA Vi * Cj
dove Cj = 1/Rj.
La terza funzione obiettivo non è lineare!
In effetti non lo è: compare una variabile al quadrato! Si può affrontare un discorso sulle derivate etc. per convertire la funzione obiettivo nella derivata... Ecco da dove nasce l'idea:
Trattandosi di una funzione quadrata, è "ovvio" (quantomeno per il professore) che si tratti di un paraboloide. Se è un paraboloide, è una funzione convessa, ovvero una funzione in cui i punti del segmento che congiunge due punti sono tutti dentro l'area della funzione (ok questa in realtà è la definizione di regione convessa, però è più facile scrivere questa che comunque si capisce lo stesso).
Se è convessa, allora avrà un minimo in cui la derivata prima è zero. Metto la derivata 1a della funzione obiettivo, e tolgo la funzione obiettivo. Infatti, non devo minimizzare o massimizzare, ma rendere uguale a 0: avrò solo vincoli.
Ma per evitare sta cosa, visto che la funzione è convessa, allora vale la simpatica proprietà per cui se trovo un minimo locale, esso è anche un minimo globale. Se il risolutore affronta i problemi non lineari andando a caccia di minimi locali, in questo caso trova anche il minimo globale, e s'incula anche la derivata.
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